Conceito de Value at Risk (VaR)

O risco de mercado está associado às flutuações nos preços e taxas praticados no mercado. Neste contexto, Harry Markowitz, em 1952, fez a primeira associação entre risco financeiro e volatilidade dos retornos dos instrumentos financeiros. Atualmente, dada a evolução tecnológica e dos mercados, as instituições estão se voltando para o conceito de Value at Risk (VaR), introduzido em 1994 pelo banco J.P. Morgan & Co. O VaR é uma medida de fácil compreensão utilizada para controlar e avaliar o risco de mercado, sendo definido da seguinte forma:

Definição 1. O VaR mede, sob condições normais de mercado, a máxima perda esperada de um portfólio, com um certo grau de confiança, para um dado horizonte de tempo.

Esta modelagem, assim como a grande maioria dos modelos matemáticos aplicados a finanças, foi desenvolvida pensando em mercados mais estáveis e desenvolvidos, neste caso o mercado norte-americano, e uma vez mais assume-se, a priori, a normalidade dos retornos. No entanto esta hipótese é bastante restritiva o que faz com que sua adequação a mercados voláteis como os mercados emergentes seja discutível. Nestes mercados, efeitos como "caudas gordas" (também conhecido como curtose, isto é, o "achatamento" da Normal) e assimetria da distribuição não são desprezíveis e geram uma grande distorção entre os resultados do modelo e os eventos ocorridos. Mas, com a introdução de novas técnicas matemáticas e aprimoramentos da metodologia original, já conseguimos estender os resultados para englobar mercados mais volatéis, que é o caso brasileiro.

A grande vantagem da metodologia VaR é a redução da multidimensionalidade do risco a um único número, expresso em unidade monetária. Ou seja, o VaR resume em um único número a máxima perda esperada de um dado portfólio. Este número ainda agrega todos os descasamentos de prazos, moedas e indexadores. Além do mais, o risco é medido em termos de potencial de perda, isto é, o risco está associado à uma probabilidade (intervalo de confiança), tornando-o de fácil compreensão. Contudo, note que que a medida do VaR é incompleta para uma administração quantitativa, pois, ao agregar toda informação em um único número, não conseguimos identificar as principais fontes de risco de uma carteira. Para contornar este problema, podemos decompor o risco em seus componentes básicos de análise de investimentos, conhecidos como fatores de risco, de forma a obter uma visão mais clara dos fatores que estão contribuindo para o risco total e em que proporção.

O risco de mercado é, sem dúvida nenhuma, a componente que tem sido mais estudada e, portanto, tem os "melhores" resultados. Podemos obter uma estimativa para o risco de mercado de quatro maneiras: a primeira delas utilizando dados históricos, a segunda através da parametrização da distribuição dos retornos dos ativos, a terceira utilizando a distribuição real dos ativos e a quarta através do processo conhecido como Simulação de Monte Carlo. Entretanto, como em todo modelo, para todos os casos acima existem limitações, tais como:


Modelos de Risco

De forma genérica, calcular o risco de uma carteira corresponde a estimar um retorno limite, , associado a um intervalo de confiança (IC), através da distribuição de retornos da carteira, conforme ilustra a figura 1. Note que o retorno limite divide a distribuição de retornos em duas regiões, a região de controle (intervalo de confiança) e a região extrema (região de risco).


Figura 1: Histograma dos Retornos de uma Carteira

Neste sentido, o risco pode ser obtido através da multiplicação do retorno limite pela riqueza, I, dado por


Os modelos aqui apresentados, ilustram as formas de estimar . Os modelos paramétricos estimam o retorno limite futuro através de uma forma quadrática.
O conceito de riqueza utilizado pode ser caracterizado da seguinte forma: considere uma carteira composta de n ativos, com z fatores de risco. Sendo o valor a mercado de cada fator de risco, a riqueza total da carteira será definida da forma

O peso relativo de cada fator de risco sobre a carteira total será dado por

Modelos Paramétricos

Nos modelos chamados paramétricos, como o próprio nome sugere, a idéia é parametrizar a série de retornos por uma função distribuição de probabilidade conhecida, de forma que seja possível obter informações estatísticas diretamente da distribuição.

Distribuição Normal

Este processo assume que os retornos dos ativos são normalmente distribuídos. Logo, calculando a média e o desvio padrão da série de retornos, obtemos uma completa caracterização da mesma. Ainda, como é conhecido a função distribuição e a função densidade de probabilidade, pode-se determinar diretamente o retorno limite r* que garante o intervalo de confiança (IC) estabelecido. O retorno r* para um intervalo de confiança é obtido resolvendo a seguinte equação

ou


Para o caso de uma Normal(0, 1), os resultados são conhecidos e tabelados, como mostra a tabela abaixo. Neste caso, como a volatilidade é unitária e estamos obtendo um retorno limite para um dado intervalo de confiança, tornou-se comum associar o retorno limite a um fator de confiança f.


Ou seja, os valores acima são referentes as seguintes equações:

ou


No entanto, a maioria dos ativos não possuem uma distribuição Normal de média zero e variância 1. Porém, existe uma transformação que leva uma variável aleatória X com distribuição numa Normal(0, 1), dada por:

Desta forma temos que:

Fazendo a substituição na primeira equação temos:


Logo


Igualando esta expressão com a expressão da Normal(0, 1) temos que:

Logo

Este raciocínio vale para posições compradas. Para o caso vendido a expressão é análoga.
Por simplicidade, vamos considerar o modelo aplicado a um único ativo. Considere a estimativa da variância do ativo, sua média de retornos e f o fator de confiança associado. O peso deste ativo é 1, e a riqueza total é o seu valor a mercado. Dado um horizonte de tempo de 1 dia e um intervalo de confiança de 98%, segue que o risco estimado deste ativo será dado por
Note que a unidade do risco é a mesma unidade da riqueza I (no caso brasileiro, em Reais). Como a distribuição Normal é simétrica em relação à média, o risco para as posições compradas e vendidas é o mesmo, desde que a média seja zero. A figura 2 ilustra um histograma gerado a partir de uma função Normal acumulada, caracterizando a simulação da distribuição de variações a mercado de uma carteira.


Figura 2: Histograma de Retornos - Distribuição Normal


O modelo descrito para um único ativo, poderá ser generalizado para uma carteira com z fatores de risco. Definindo como o vetor de pesos, como o vetor de médias e

como a matriz de variância-covariância, o risco da carteira pode ser obtido a partir da seguinte forma quadrática introduzida inicialmente por Markowitz:


Note que a utilização da matriz de variância-covariância para obter o risco, leva em conta o efeito de diversificação, de forma que o risco total da carteira é sempre menor ou igual do que a soma dos riscos individuais de cada fator de risco. O risco poderá ser expresso em função da matriz de correlações dos ativos, dada por


Desta forma, a expressão do risco será dada por

onde

As vantagens desta abordagem são:
O modelo proposto pelo J.P. Morgan assume média igual a zero ( = 0) para todos os fatores de risco, pois a hipótese de mercado eficiente é considerada. Contudo, a média não é uma medida estatística desprezível e que possa ser substituída arbitrariamente por outro número qualquer, neste caso zero. A média, mesmo sendo um estimador ruim, pode ser utilizado como um indicativo de tendência do mercado. Pode-se verificar na prática que a utilização de média igual a zero em um período de alta do mercado superestimaria o risco, e sua utilização em um período de baixa do mercado subestimaria o risco. Em ambos os casos, haveria uma alocação não eficiente dos ativos em relação ao patrimônio mínimo exigido.


Figura 3: Exemplo de Estimativa de Risco pelo Método Paramétrico com distibuição Normal