Distribuição de Maxwell

Ao longo do desenvolvimento do projeto foi abordado um problema não previsto: como gerar um estado inicial compatível com a realidade? Aqui, foi utilizada a distribuição de Maxwell [7] para estimar um módulo de velocidade inicial para cada molécula com base na temperatura fornecida.

A distribuição de Maxwell é dada por:

$$n = 4 \pi N e^{\frac{-mv^2}{2kT}} v^2 \left( \frac{m}{2 \pi kT} \right)^{1.5}$$ (4)

onde $n$ é o número de moléculas esperado para a temperatura $T$ numa velocidade $v$, $N$ é o número total de moléculas do meio considerado, $m$ é a massa de cada partícula e $k$ é a constante de Boltzmann.

No programa, está sendo utilizada uma versão ligeiramente modificada da equação para obter-se a proporção esperada de moléculas a uma determinada velocidade:

$$p = 4 \pi e^{\frac{-mv^2}{2kT}} v^2 \left( \frac{m}{2 \pi kT} \right)^{1.5}$$ (5)

Figura: Gráfico da distribuição de Maxwell para duas temperaturas diferentes

Como a distribuição de Maxwell fornece o número de moléculas numa determinada velocidade, para estimar a velocidade de uma molécula é necessário integrar esta função e, em seguida, calcular sua inversa [8].

Como esta função não admite uma inversa explícita, é necessário fazer tanto a inversão como a integração de modo numérico. Isso é feito por meio do seguinte algoritmo:

1. Gere um número pseudo-aleatório: $p = Unif([0, 1))$
2. Calcule os valores independentes da velocidade na função:
   
   $$\begin{array}{l} c_1 = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{1.5}\\ c_2 = \frac{-m}{2kT} \end{array}$$
   
   

3. Sejam $s = 0$ e $v = 0$. Enquanto $s \le p$ faça:
   1. $s = s + [c_1 \cdot x^2 \cdot \exp (c_2 \cdot x^2)] \cdot \delta$
   2. $v = v + \delta$

$\delta$ determina a qualidade da aproximação da integração, e está definido no programa como $0.1$.