Modelo Matemático

Foi assumido que o par de eletrodos por onde a corrente está sendo injetada pode ser aproximado por duas cargas elétricas de mesmo valor e sinais opostos, ou seja, por um dipolo localizado entre o par de eletrodos. Com isso, o modelo matemático baseia-se nas equações estáticas de Maxwell para o dipolo elétrico no meio homogêneo:

$$\begin{cases} \nabla(\gamma \nabla u) = 0, em \Omega \... ...l n} = j, sobre \partial \Omega \end{cases} (\mathrm{I})$$

onde
$\gamma$ denota a condutividade,
$u$ o potencial de voltagem,
$j$ a corrente aplicada a um eletrodo,
$\Omega$ o domínio e
$\partial \Omega$ a fronteira do domínio.

As simplificações do modelo até obtermos a expressão para o valor da condutividade em cada pixel serão explicitadas a seguir [3,6].

O problema definido pelas equações ( $\mathrm{I}$) é linearizado, assumindo que a imagem a ser reconstruída é uma pequena perturbação do problema homogêneo. Portanto, é assumido que uma pequena perturbação $\delta\gamma$ na condutividade (de $\gamma$) correspondente a uma pequena perturbação $\delta u$ na voltagem (de $u$).

$$\begin{cases} \nabla(\gamma \nabla \delta u) = -\nabla (\... ...tial n}, sobre \partial \Omega \end{cases} (\mathrm{II})$$

Assumiu-se que $\Omega$ é o círculo unitário, ou seja, $\Omega = \{x \in \mathbb{R}^2: \vert x\vert < 1\}$, $\gamma \equiv 1$ e $\delta\gamma = 0$ perto do dipolo. Considerando o dipolo elétrico no plano, o campo elétrico de cada carga é definido por

$$E_r = \displaystyle\frac{\rho}{2 \pi \varepsilon r}$$

e com as hipóteses estáticas no meio homogêneo, o campo deriva de um potencial

$$\overrightarrow{E}= - \nabla u$$

Portanto,

$$u = \displaystyle\frac{-\rho}{2 \pi \varepsilon r} ln(r).$$

O campo elétrico em um ponto $x \in \Omega$, que é a superposição das ações das duas cargas é dado por

$$u(x) = u_+(x) + u_-(x).$$

As equipotenciais são obtidas a partir da aproximação de primeira ordem do potencial elétrico em torno de um pequeno parâmetro que define a distância entre as cargas.

A expansão é feita em coordenadas complexas e o potencial $u(x)$ é definido por

$$u(x) = U(x) + i V(x).$$

Sendo $(x_1,x_2)$ as coordenadas de um ponto $x \in \Omega$

$$U(x) = \displaystyle\frac{x_1}{x_1^2 + x_2^2}$$

$$V(x) = \displaystyle\frac{x_2}{x_1^2 + x_2^2}$$

onde
$x_1 = \omega^\perp x$,
$x_2 = 1 - \omega^\perp x$ e
$\omega^\perp = (-\omega_2, \omega_1)$ é a rotação de $\frac{\pi}{2}$ sobre a posição $\omega = (\omega_1, \omega_2)$ do dipolo (Figura 3).

Figura: Posição $\omega$ do dipolo no círculo unitário e sua rotação $\omega^{\bot}$.

A função $V(x)$ é a conjugada harmômica de $-U$ sobre $\Omega$. Além disso, $x = (x_1, x_2) \rightarrow (-U, V)$ mapeia $\Omega$ no semi-plano superior $P=\{V > 1/2\}$. Realizando este mapeamento para a Figura 1, obtemos a Figura 4.

Figura: Mapeamento de $\Omega$ no semi-plano $P$

A partir deste mapeamento, dado um ponto $x$ a ser reconstruído, a função peso que pondera a projeção sobre uma equipotencial definida por um dipolo $d$ sugerida por [2] é

$$\Phi(x, \omega) = 2V(x, \omega) - 1$$

onde

$$V(x, \omega) = x_{2}/(x_1^2 + x_2^2)$$

tal que

$$x_{1} = \omega^\perp x, \omega=\omega_1+i\omega_2,$$e $$\omega^\perp=-\omega_2+i\omega_1.$$

Analisando as Figuras 1 e 4, pode-se notar que percorrer a equipotencial definida pelo dipolo $d$ partindo de $x_b$ e indo em direção ao próprio $d$ na Figura 1, corresponde a partir de $V(x, \omega) = 1/2$ e ir em direção a $\infty$ na Figura 4.

Logo, nota-se que existe uma singularidade para os pontos próximos ao dipolo, pois o valor da função $V(x, \omega)$ tende $\infty$ à medida ela se aproxima do dipolo, ou seja, a função que pondera a reconstrução de uma imagem tende a $\infty$ quando a distância do ponto $x$ em relação ao dipolo diminui. Por outro lado, os pontos próximos ao dipolo são os que mais sofrem ação da corrente elétrica, sendo, portanto, os pontos em que a diferença de condutividade é melhor percebida.

Para evitar instabilidades computacionais devido às singularidades acima apresentadas, os pontos que pertencem à vizinhança do dipolo são desconsiderados na reconstrução da imagem, pois um filtro é aplicado a priori, eliminando todos os pontos localizados à distância de aproximadamente $0,01 \%$ do raio do dipolo.

Neste trabalho de iniciação científica foram exploradas novas funções peso, com o objetivo de recuperar informações sobre a variação de condutividade, principalmente no centro da imagem, que é sistematicamente penalizado na utilização da função clássica utilizada no backprojection.

Com a exploração destas novas funções peso, pretendeu-se avaliar o impacto destas ponderações sobre a imagem final e substituir as funções que apresentassem resultados favoráveis no algoritmo de reconstrução.

Além da continuidade para a nova função peso e para suas derivadas (pelo menos de primeira ordem), não foi imposta nenhuma hipótese para realizar modificações na função $\Phi(x, \omega)$.